いきなり労働審判や裁判はしない
労働審判や裁判をせずに、弁護士さんにお願いして会社に交渉してもらい復職や金銭的解決ができるということも全くなくはないですが、概ね「あっせん」「労働審判」「裁判」になると思います。
「会社を辞めないと殺す」とか脅された場合は別だと思いますが、１度も会社に解雇に納得できない旨を伝えないまま「あっせん」「労働審判」「裁判」などはしないので、何度かそういったやりとりを会社とすることになります。
とはいえ、実際には残業代を払って欲しいといったら解雇されて解雇理由証明書には別の理由を書かれた場合などはきちんとした話し合いができるわけもありませんが、
一応、会社から解雇と言われた際に解雇に納得できない旨を伝えた、会社から解雇理由証明書を貰ったけど、そこに書かれている内容が事実と違うなどの理由で解雇に納得できない旨を伝えたけれど、会社側からは解雇理由証明書に書いたことは事実であり、解雇を取り消すつもりもないとの返答だったので「労働審判」などをせざるをえなくなり、「労働審判」などの申し立てをしますという流れになります。
会社とのやり取りは後々「労働審判」や「裁判」を申し立てる際に証拠として提出しますので、メールや内容証明郵便で行います。
私は弁護士さんに依頼したので、解雇理由証明書を会社からもらった後は弁護士さんに会社と交渉してもらい、解雇理由証明書に書かれた内容が不当で事実でない旨を「内容証明郵便」で弁護士さんに書いて送ってもらい、会社からは解雇理由証明書に書いた内容は事実で解雇を取り消すつもりはないとの回答をもらい、１度弁護士さんに会社と直接話し合ってもらいましたが、会社が解雇を取り消すつもりはないとのことで労働審判をするという流れになりました。
私の経験では、会社と交渉をする場合は労働者が問題ない言葉遣いをしても「脚色・捏造・曲解」して労働審判などで会社側が労働者の態度が悪かったなどと解雇理由として主張してくる場合がありますので、言葉遣いには極力注意して、なるべく要件のみを伝えて言葉数は少なくしたほうがよいと思いました。
会社や上司と話をする場合、「残業代を払って欲しいと言ったら解雇されたり」「求人の時の条件と給料が違うと言ったら解雇されたり」「上司から毎日勤務時間外に私用を頼まれて済みませんが今日は出来ませんと言ったら突然想像を絶するほど上司がキレて解雇されたり」といったとんでもない返答が返ってくることがわりとよくありますので、話をするときは後で証拠の残るようにメールでしたりボイスレコーダーで録音しておくとか（もちろんばれないように）直接問題の相手と話をしないように間に誰かに入ってもらうなど身の安全を確保するように十分にご注意下さい。
ただ、残念ながら残業代を払ってくれないといった違法行為をしている会社にどのような形であれ残業代を払って欲しいと言うと解雇されるなど理不尽な扱いを受ける可能性は大きいと思います。
理不尽な扱いを受けずに会社に残業代を払って欲しいという要望を伝えるよいアドバイスが残念ですが分かりません。そのような話を会社とする場合は身に危険が及ぶ恐れがありますので十分にご注意をしてください。